在数学与计算机科学中，三维（3D）技术不仅在电影、游戏和设计领域大放异彩，还广泛应用于医学、工程、地理等多个领域，掌握3D口诀表和计算公式，对于初学者而言，是开启这一奇妙世界大门的钥匙，本文将深入探讨3D口诀表的基本内容，并详细介绍几种常用的3D计算公式，帮助读者在三维空间中自如地探索与计算。

3D口诀表：基础中的基础

3D口诀表，顾名思义，是一系列帮助记忆和理解三维空间中基本概念和操作的简短语句，这些口诀不仅适用于初学者，也是专业人士快速回顾和巩固知识的重要工具，以下是几个常用的3D口诀：

1、“右手定则”：在三维空间中确定坐标轴的正方向时，伸出你的右手，大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指自然弯曲指向z轴正方向，这一口诀帮助理解三维坐标系中各轴的方向。

2、“先x后y再z”：在指定点的位置时，先确定x轴上的值，再确定y轴上的值，最后确定z轴上的值，这一口诀简化了三维空间中点位指定的过程。

3、“内积外积”：在处理向量时，内积（点积）用于计算两个向量的相似度或投影长度，而外积（叉积）用于计算两个向量的法向量或面积，这一口诀帮助理解向量运算中的关键概念。

常用3D计算公式：深入探索

掌握了基础口诀后，接下来是几种常用的3D计算公式，它们在三维空间中的计算、建模、分析等方面发挥着重要作用。

1、点与点的距离公式：

在三维空间中，两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离d可以通过以下公式计算：

\[

d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}

\]

这个公式用于计算两点间的直线距离，是三维空间中许多计算的基础。

2、向量的点积公式：

设两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的点积a·b为：

\[

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a1b1 + a2b2 + a3b3

\]

点积的结果是一个标量，表示两个向量的相似度或夹角的余弦值，在三维空间中，这一公式常用于计算力、位移等物理量的相互作用。

3、向量的外积公式（叉积）：

设两个向量a和b如上所述，它们的外积a × b为一个新的向量，其方向垂直于a和b所在的平面，大小为两向量大小之积与它们夹角余弦值的乘积的补角正弦值，外积的坐标计算公式为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a1 & a2 & a3 \\

b1 & b2 & b3

\end{vmatrix}

= (a2b3 - a3b2) \mathbf{i} + (a3b1 - a1b3) \mathbf{j} + (a1b2 - a2b1) \mathbf{k}

\]

外积在计算法线向量、判断两直线是否垂直等方面有重要应用。

4、球体体积和表面积公式：

球体的体积V和表面积S的计算公式分别为：

\[

V = \frac{4}{3}\pi r^3

\]

\[

S = 4\pi r^2

\]

其中r为球体的半径，这些公式在三维建模、物理碰撞检测等场景中非常有用。

5、长方体对角线长度公式：

设长方体的三边长分别为a、b、c，其对角线长度d可通过以下公式计算：